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Bericht über Zufall und Wahrscheinlichkeit

Spiele sollen uns unterhalten, uns für einen Augenblick aus unserem Alltag in eine andere Welt entführen und dort Spaß bereiten, vielleicht garniert mit etwas Nervenkitzel. Dass Spiele darüber hinaus ganz ernsthafte wissenschaftliche Untersuchungen ausgelöst haben, davon soll hier die Rede sein. Aber keine Angst - wir wollen die Sache spielerisch angehen! Noch heute gehören Zufall und Wahrscheinlichkeit zu den Erscheinungen, die oft falsch gedeutet werden.

Dass zumindest die Wissenschaft gelernt hat, mit diesen Begriffen objektiv umzugehen, verdankt sie einer Entwicklung, die im 17. Jahrhundert mit der Untersuchung von Glücksspielen begann: Gefragt wurde zunächst danach, wer in einem bestimmten Glücksspiel im Vorteil ist und wie ausgeprägt dieser Vorteil ist. Oder danach, welcher Einsatz im Vergleich zu den gebotenen Gewinnchancen eines Glücksspiels fair ist. Zur Beantwortung solcher Fragen erdachten Mathematiker wie Fermat, Pascal, Bernoulli und Laplace ein Maß für zufällige Ereignisse, die sogenannte Wahrscheinlichkeit. So, wie man Strecken auf ihre Länge messen und damit untereinander vergleichen kann, so lassen sich auch zufällige Ereignisse messen und damit untereinander vergleichen; im einfachsten Fall wird schlicht das Ereignis des Gewinns mit dem des Verlusts verglichen.

Gemessen werden kann die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in der Praxis einfach durch eine möglichst lange Versuchsreihe des zugrundeliegenden Experiments: Soll beispielsweise für einen speziellen WÜRFEL gemessen werden, wie wahrscheinlich es bei ihm ist, eine Sechs zu erzielen, so generiert man mit diesem Würfel eine Serie von Wurfergebnissen. Nehmen wir nun an, dass in 6000 Würfen 1013 Sechsen erzielt werden. Dann entspricht das einem Messergebnis von 1013/6000 = 0,1688 für die gesuchte Wahrscheinlichkeit. Eine neue Versuchsreihe wird sicher nicht das gleiche Messergebnis, wohl aber einen ähnlich großen Wert liefern; auf Basis dieser allgemeinen Erfahrungstatsache wird das Messverfahren überhaupt erst sinnvoll.

Und nicht zuletzt kann auf diese Weise auch die Symmetrie eines Würfels experimentell bestätigt werden: Dazu müssen bei genügend langen Versuchsreihen die Messergebnisse für die Wahrscheinlichkeiten der sechs Würfelwerte annährend gleich ausfallen. Übrigens betraf eins der zuerst von Fermat und Pascal untersuchten Probleme die Wette, in vier Würfelversuchen mindestens eine Sechs zu werfen. Ist bei dieser Wette der Gewinn etwas wahrscheinlicher als der Verlust, so ist es bei der scheinbaren Übertragung auf zwei Würfel, bei dem in 24 Versuchen zumindest einmal die Doppel-Sechs erzielt werden soll, genau umgekehrt. Um solche Sachverhalte, die sich natürlich auch rein empirisch in langen Spielserien am Spieltisch erfahren lassen, zu erklären oder sogar a priori vorherzusagen, fanden die beteiligten Mathematiker Formeln, die es zum Beispiel erlauben, komplizierte Situationen mit mehreren Würfeln oder längeren Wurfsequenzen rechnerisch auf einfache Versuchsanordnungen mit nur einem einzelnen Würfelwurf zurückzuführen.

Mit solchen Formeln lassen sich dann ganz einfach die Gewinnchancen der beiden angeführten Wetten berechnen: Die anfänglich übliche Bezeichnung der GLÜCKSSPIEL-THEORIE haben die Mathematiker längst durch den seriöseren Begriff Wahrscheinlichkeitstheorie ersetzt. Das ist auch insofern konsequent, da sich heute die wenigsten Anwendungen auf die Glücksspiele beziehen: Ob bei der Kalkulation von Versicherungen, bei der Deutung von klinischen Medikamententests oder der Auswertung von Meinungsumfragen, immer bilden die zuerst anhand von Glücksspielen erkannten Gesetzmäßigkeiten des Zufalls die unverzichtbare Grundlage. Wer aber will, findet auch bei Spielen genügend Betätigungsmöglichkeiten, ob beim MONOPOLY, um dort das 48-prozentige Übergewicht der Opernplatz-Besuche gegenüber der Parkstraße zu erklären oder beim Black Jack, bei dem zu Beginn der sechziger Jahre der Mathematikprofessor Edward Thorp die Casinowelt mit seinen Computerberechnungen überraschte:
Variiert der Spieler seine Ziehstrategie anhand der bereits verbrauchten Karten, kann er sofern er seine Umsetzung in die Praxis mit äußerster Konzentration und Fehlerlosigkeit vollzieht den Vorteil des Casinos geringfügig überwinden. Wer sich selbst davon überzeugen will: Bereits ein Tabellenkalkulationsprogramm (und genügend Muße) reicht aus, die Berechnungen durchzuführen. Aber nicht nur konkrete Berechnungen sind angebracht. Auch in rein qualitativer Hinsicht besteht noch heute ein erheblicher Bedarf an Aufklärung über immer wieder auftretende Missverständnisse in Bezug auf Glücksspiele: Der häufigste Irrtum betrifft das sogenannte GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN, das für die relativen Häufigkeiten in Versuchsreihen Trends vorhersagt, wobei die Sicherheit solcher Prognosen mit zunehmender Länge steigt. Dazu bedarf es aber, wie schon Bernoulli erkannte, keineswegs eines irgendwie gearteten AUSGLEICHS.

Denn selbst, wenn beim Roulette zehnmal hintereinander Rot erscheint, reichen bei den nächsten 10 Coups bereits 6 rote und 4 schwarze Zahlen, um den Anteil roter Zahlen von 100% auf 80% zu drücken ohne jeden Ausgleich im Sinne eines zum vormaligen Übergewicht gegenläufigen Trends. Der Zufall braucht eben kein Gedächtnis und die Roulettekugel hat auch keins! Noch verwunderlicher ist das Tipp-Verhalten beim LOTTO, wo statistische Auswertungen übrigens übereinstimmend in verschiedenen Ländern ergeben haben, dass bestimmte Zahlen und Zahlenkombinationen wie zum Beispiel 7, 13, 19, 25, 31, 37 stark bevorzugt werden.

Dabei werden in Deutschland einige Sechser-Kombinationen jede Woche mehrere zehntausendmal getippt! Natürlich ist eine solche, regelmäßige Kombination unter dem Blickwinkel der Gewinnwahrscheinlichkeit nicht schlechter als irgendeine andere. Aufgrund ihrer häufigen Verwendung bietet sie aber praktisch keine Chance, je einen Millionen-Gewinn zu erzielen. Neben den reinen Glücksspielen hat die Welt der Spiele der Wissenschaft aber auch noch eine weitere Vorlage geliefert: Wie können die Entscheidungsmöglichkeiten eines Spielers gegeneinander abgewogen werden, wenn die Spieler anders als beim Roulette oder Black Jack mit echter Interaktion wie beim Schach, Poker oder Baccarat gegeneinander agieren?

Im Gegensatz zum Black Jack ist es dann nämlich nicht mehr unbedingt möglich, Spieler-Entscheidungen allein aufgrund langfristig zu erzielender Gewinnchancen zu optimieren. Man denke nur an ein so simples Spiel wie PAPIER-STEIN-SCHERE: Keine Entscheidung ist objektiv, und sei es auch nur auf lange Sicht, besser als die andere. Welche Entscheidung im konkreten Fall den Gewinn bringt, hängt nämlich einzig von der gegnerischen Spielweise ab.

Immerhin erlauben Zwei-Personen-Brettspiele wie Schach, Mühle und Go absolute Optimierungen von Spielzügen. Das heißt, Züge lassen sich unabhängig von der gegnerischen Spielweise objektiv miteinander vergleichen. Dabei konnte das im Vergleich zu Schach und Go relativ einfache Mühle 1994 sogar vollständig mit Hilfe von Computern analysiert werden: Kein Spieler, ob mit weißen oder schwarzen Steinen, muss verlieren, wenn er nur fehlerfrei spielt. Mühle ist also ein faires Spiel wie natürlich auch Schach, wenn man zwei Partien mit wechselndem Anzugsrecht spielt. Auch dort verliert nur derjenige, der in zumindest einer der beiden Partien einen Fehler gemacht hat so wie es sich fÜr ein als intellektuellen Wettkampf gedachtes Spiel auch gehört. Deutlich komplizierter wird es, wenn jeder Spieler jeweils nur ihm bekannte Karten in seinen Händen hält.

So erkannte bereits der adlige Spieler Waldegrave zu Beginn des achtzehnten Jahrhunderts, dass beim Spiel LEHER, das wir uns als eine Art vereinfachtes Baccarat vorstellen können, gewisse Spielentscheidungen wie bei Papier-Stein-Schere nur unter Bezug auf die als bekannt vorausgesetzte Spielweise des Gegners optimiert werden können. Und im wissenschaftlichen Disput entwickelte Waldegrave sogar einen Ausweg, der fÜr allgemeine Zwei-Personen-Spiele erst Über 200 Jahre danach durch John von Neumann, der später auch das Konstruktionsprinzip heutiger Computer ersann, gefunden wurde: Um ein frei von der gegnerischen Spielweise optimales Entscheidungsverhalten zu erzielen, wird die einzelne Entscheidung zufällig ausgewürfelt, das heißt in einem zuvor festgelegten Rahmen zufällig variiert. Das führt dazu, dass ein solchermaßen optimal verhaltender Spieler sich in ein und derselben Spielsituation mal so und mal anders verhält, eine wie schon von Neumann erkannte beim Bluff im traditionell praktizierte Verfahrensweise, die somit ihre mathematische Begründung erhielt.

Mit seinen Untersuchungen begründete John von Neumann eine neue mathematische Disziplin, die sogenannte SPIELTHEORIE. Wirkliche Spiele werden dabei nur selten untersucht, und so sprechen Spieltheoretiker manchmal auch lieber von interaktiver Entscheidungstheorie, deren Anwendungen sie bei ökonomischen Prozessen wie Versteigerungen und Wettbewerbssituationen sehen. Trotzdem konnten viele prinzipielle Erscheinungen, wie sie gerade auch in Mehrpersonenspielen auftreten, mit den Methoden der Spieltheorie grundlegend untersucht werden: Dazu gehören insbesondere die verschiedenen Formen offener oder indirekter Kooperation und des dazu ggf. notwendigen Informationsflusses, wie er implizit beispielsweise in der Bietphase des BRIDGE praktiziert wird. Deutlich wurde aber auch, dass in den meisten Drei- und Mehrpersonenspielen ein einzelner, auf sich allein gestellter Spieler das Spielgeschehen nur sehr wenig beeinflussen kann.

Ob Zufall oder interaktive Entscheidungsprozesse - die Ungewißheit, die der Verlauf eines Spiels in sich birgt, hat sich als Grundlage wissenschaftlicher Modelle der Wirklichkeit bestens bewährt. Vom Spiel und mit dem Spiel lernen, so lautet die Devise. Dabei muß und soll beim richtigen Spiel der Spaß nicht auf der Strecke bleiben. Dr. Jörg Bewersdorff promovierte an der Universität Bonn in Mathematik und ist seit mehreren Jahren fÜr die Entwicklung zuständiges Mitglied der Geschäftsleitung bei den Firmen MEGA-Spielgeräte in Limburg und der GeWeTe in Mechernich.

In seinem 1998 erschienenen Buch GLÜCK, LOGIK UND BLUFF: Mathematik im Spiel - Methoden, Ergebnisse und Grenzen, erörtert er anschaulich und auch für Nicht-Mathematiker verständlich viele der hier angeführten (Bei-)Spiele.

Poker ist für einen guten Spieler kein Glücksspiel

Wie in der Einleitung erwähnt, ist es bei Poker möglich, mit schlechten Karten auch gegen bessere Blätter zu gewinnen. Bluffen kann jeder. Einen Bluff zu erkennen, ist schon schwieriger. Mit einem Bluff gewinnen, ist die Kunst. Es geht aber um noch viel mehr : Irreführung, Manipulation, Umgang mit Geld, und Psychologie. Die Karten sind nur ein "Hilfsmittel". Internet Lotterie.

Poker ist für einen guten Spieler kein Glücksspiel ( Beim Glücksspiel setzt man, wenn die Chancen gegen einen stehen ). Auch bei einem Bluff kann das so sein, wenn man Spiel, Gegner und Gelegenheit einbezieht. Dazu ist es notwendig, die Mitspieler und das Spiel genauer kennenzulernen. Da gibt es keine Ideallösung. Das Ziel ist jedoch klar: Mehr gewinnen, weniger verlieren

Poker ist ein Glücksspiel für normalerweise 3 bis 8 Personen. Poker ist das klassische Spiel des wilden Westens und aller seltsamen und verrückten Kerle. Es geht um Karten, Geld, Manipulation, Kontrolle, Beobachtung, Kombination und Kenntnis der Gegner. Es ist das wahnsinnigste Spiel, das jemals erfunden wurde. Nicht nur, dass man auf seine Karten setzen muß. Oh, nein. Es ist die Psychologie, die das Spiel so interessant macht. Wenn man einen Mitspieler durch eine Täuschung zur Aufgabe gebracht hat, ist es das, was Poker ausmacht. Es geht nicht um die Karten , die man auf der Hand hat, sondern darum, wie man sie verkauft. Poker eröffnet dem geschickten Spieler eine Menge Möglichkeiten.

Es gibt viele verschiedene Varianten, die mit unterschiedlich vielen Spielern gespielt werden können. Jede Pokerrunde hat gewöhnlich eine Lieblingsvariante, die sich von den Standardregeln recht stark unterscheiden kann. Ziel des Spiels ist es, die Mitspieler nicht nur durch gute Karten, sondern auch durch Strategie und Täuschung zur Aufgabe zu bringen und so den "Pott" zu gewinnen. So kann man auch mit schlechten Karten gegen einen oder mehrere Spieler mit besseren Karten gewinnen. So ein "Bluff" setzt natürlich voraus, dass man die anderen Spieler von der Stärke der eigenen Karten überzeugt.

Beim Poker wird Rundenweise ein Einsatz in die Mitte des Tisches gelegt. Man bezeugt dabei mit seinem Gebot den Willen weiter am Spiel teilzunehmen. Die Alternative ist, nicht zu setzen und das Spiel zu beenden. Gewinner ist derjenige Spieler, der als letzter im Spiel ist. Er erhält die gesamten Einsätze des Spiels, den "Pott", und ein neues Spiel beginnt. Gesetzt werden kann mit Jetons (Spielsteinen, die einen bestimmten Wert darstellen, z.B. 10pf) oder einfach mit Kleingeld. Dabei sollte es auch bleiben, da das Glücksspiel um größere Summen verboten ist. Am besten ist es, wenn man vor beginn des Spiels ein Tischlimit festlegt. So ein Höchsteinsatz verhindert, dass die Einsätze und somit auch der Pott unangemessen hoch werden.

All dies wird von den Regeln des Spiels und den sogenannten Tischregeln, die in jeder Spielerrunde individuell sind, geregelt. Jede Gruppe, die häufiger zusammen Poker spielt, legt Tischregeln fest, damit es im laufenden Spiel nicht zu Unstimmigkeiten und Streit kommt. Auch wenn es nur um Pfennige geht, ist es immer schlecht, wenn unklare Regeln mißverstanden werden und die Stimmung darunter leidet. Zu Beginn sollte man einige Proberunden ohne reale Einsätze spielen, um ein wenig mit den Regeln vertraut zu werden

Bitte das Spiel zu machen!

Der Spieler spielt gegen die Bank und versucht mit seinen Karten 21 Punkte zu erreichen oder an diesen Wert so nahe wie möglich heranzukommen, ohne ihn jedoch zu überschreiten. Dabei zählen Asse 1 Punkt oder 11 Punkte (nach Wahl des Spielers), Bilder 10 Punkte und alle anderen Karten ihren aufgedruckten Punktwert.

Wenn der Croupier auffordert: „Bitte das Spiel zu machen!", setzen Sie auf die Chancen, die Ihnen gewinnbringend erscheinen. Sie können nicht nur auf einzelne Zahlen setzen, sondern auch eine ganze Reihe von Kombinationen: Fahren Sie im abgebildeten Spielfeld mit der Maus über die Spielfläche, um Beispiele für einige Möglichkeiten angezeigt zu bekommen. Im Automatenspiel können Sie sich jederzeit an die Casino-Mitarbeiter in den Spielsälen wenden. Für Fragen, die das Große Spiel betreffen, wenden Sie sich bitte an unser Receptionspersonal. Dort wird man Ihnen gerne Auskunft geben. Unsere Spieltechniker (Croupiers) müssen ihre volle Konzentration dem Spielgeschehen am Tisch widmen. Bitte haben Sie Verständnis, wenn diese nicht auf ausführliche Fragen eingehen können.

Im Automatenspiel ist Freizeitkleidung ausreichend, aber bitte nicht zu leger. Für das Große Spiel gilt angemessene Garderobe, d.h. für Herren Sakko und Krawatte, auch gute Jeans zählen in Stuttgart dazu. Wenn Sie für das Große Spiel nicht passend gekleidet sind, können Sie ein Sakko und eine Krawatte an unserer Garderobe gegen eine kleine Gebühr ausleihen. Liegt der Spieler mit seinem Punktwert näher an 21 als der Croupier, gewinnt er die Höhe seines Einsatzes. Ist der Punktwert seiner Karten niedriger als der des Croupiers, verliert er seinen Einsatz. Ergibt sich eine Punktgleichheit, so kann der weder gewinnende noch verlierende Einsatz beliebig verändert werden

Ein Spiel das immer wieder fasziniert: Roulette

Folgen Sie dem Lauf der Kugel an 12 Tischen und erleben Sie spannende Momente. Versuchen Sie Ihr Glück! Ob Sie auf den Zufall setzen oder nach Ihrem persönlichen System spielen, eines ist sicher: Das Roulette bietet tatsächlich die größten Gewinnchancen aller Glücksspiele. Versuchen Sie Ihr Glück: An den 5 Black-Jack Tischen sind Spaß und Spannung garantiert. Sieben Gäste können dabei ihre Einsätze bis zum Maximum einer Box platzieren. Selbstverständlich dürfen auch Gäste ohne Tischplatz mitmachen.

Nachdem die Einsätze getätigt sind, gibt der Croupier an jeden Boxeninhaber zwei Spielkarten offen aus. Hat der Spieler BLACK-JACK (ein As mit einem Bild oder einer Zehn), so wird im Verhältnis 3:2 ausbezahlt, es sei denn, der Croupier kann mit einem BLACK-JACK gleichziehen. In diesem Falle gewinnt der Einsatz nicht, geht aber auch nicht verloren. Erreicht der Spieler keinen BLACK-JACK, so versucht er mit weiteren Karten so nahe wie möglich an den Punktwert 21 heranzukommen. Mit der Erklärung „Carte" fordert er beliebig viele Karten. Mit dem Ausdruck „reste" gibt er zu verstehen, dass er keine weiteren Karten wünscht. Ob Bingo oder Automaten mit traditioneller Walzentechnik, hier sind Sie schon mit einer Mark mitten im Spielgeschehen. Zudem erwarten Sie verschiedene Video- und Slot-Modelle und modernste Video-Roulette-Automaten mit Touchscreen-Funktion. Auch bietet das Automatenspiel 4 Jackpot-Anlagen: Kick & Win, Taj Mahal, Diamond Winner und Rapid 5 Way. Wir setzen alle Hebel in Bewegung, um Sie bestens zu unterhalten.

Beim Baccara, auch Chemin de fer genannt, können selbst Neulinge problemlos mitspielen, denn Spielerfahrung ist nicht erforderlich. Sie können sich jederzeit durch den Croupier nach dem Reglement beraten lassen. Wobei die erteilten Ratschläge dann allerdings auch beachtet werden müssen. Viel Spaß, bei diesem hochinteressanten Kartenspiel. Es stehen Ihnen 5 Baccara-Tische zur Verfügung. Spannung garantiert: Im Automatenspiel der Spielbank Stuttgart erleben Sie eine einzigartige Atmosphäre. Hier finden Sie fast 250 Spielautomaten, darunter auch die attraktivsten Highlights aus dem legendären Las Vegas. Tauchen Sie ein in diese bunte Welt des Spielvergnügens.

Jeweils elf Personen können an einem Tisch spielen, von denen einer die Bank hält (Banko) und gegen alle anderen (Ponte) spielt. Ziel ist es, so nahe wie möglich an die Neun heranzukommen. Die Zehn und die Bilder zählen Null, die Punktzahl der anderen Karten entsprechen ihrem aufgedruckten Wert. Ergibt die Summe der Punkte eine zweistellige Zahl, werden nur die Einer berücksichtigt. Beispiel: 7 + 8 = 15, also 5 Punkte oder auch 7 + 8 + 8 = 23, also 3 Punkte.

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